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【参考書を読んでも解けなかった方へ】材料力学の不静定問題の解説します

材料力学の解説

今回は、剛体板や棒が３本登場する不静定問題を解いていきます。

◆材料力学が苦手。

◆不静定問題は見るだけで吐き気がする

◆問題のイメージすらできないので式すら立たない。

⇧の内、一つでも当てはまったら以下の記事を読んでいきましょう。30分でややこしい不静定問題が解けるようになります。

それでは頑張って材料力学の勉強をしていきましょう。

ちなみに今回解説する問題は、参考書のp.23の5.3の問題を解説します。

　

材料力学の不静定問題

それではさっそく、難しめの不静定問題を解いていきましょう。

剛体板や棒が３本も出てきてかなりイメージしずらい問題となっています。

しかし、おりびのブログでは変形前と後のイメージ図を独自で作り解説しますのでかなりイメージしやすくなっています。

気負わず頑張っていきましょう。

今日は参考書「演習材料力学 [新訂版]」のp.23の5.3の問題を解いていきます。問題文は以下です。

材料力学不静定問題

上の図のような断面積、縦弾性係数を有する３本の棒を剛体板で上、下を固定するとき、棒2が1、3より $\lambda$ だけ長く作られているとすれば、各棒にはどのような応力が生ずるか。

それではこの問題をステップ毎に解説していきます。

ちなみに、この問題と酷似した問題も解説していますので、よかったらこっちも勉強していってください。⇩

材料力学の不静定問題！よく出る不静定問題を４つのステップ毎に解説 - おりびのブログ

※⇧の問題解説は元の棒の長さが違うのと、外力があるかないかが異なります。

材料力学の不静定問題を解く４つの重要ステップ

材料力学不静定問題

材料力学の内部応力を解くために、次の４つの手順に従って説明していきます。

この４ステップで必ず不静定問題は解くことができます。

重要ポイント ①力のつり合い式を立てる　
②それぞれの丸棒の縮んだ量を考える

③縮んだ量について等式を立てる

④それぞれの応力を計算する

この４つの手順に従って解説していきます。

材料力学の不静定問題の解き方①：力のつり合い式を立てる

材料力学解く際にあるあるの手順ですね。まずはとりあえず力のつり合い式を立てましょう。

それではさっそく変形前と変形後の図を書いてみます。こんな感じですね⇩

材料力学不静定問題

⇧の図は、力が一切かかっていない変形前の図です。

※⇧の図は分かりやすくするためにかなり大げさに描いています。本当は1mmよりも小さい隙間しかありません。

この状態から部材1が伸びて、部材2は縮んだと考えましょう。

左の剛体板が右に移動して部材1と部材3が伸びた図がこちらです。⇩

材料力学不静定問題

どの長さが $\lambda$ 、 $\delta$ 、 $l$ なのかしっかりと把握しましょう。

部材1,3には反力 $R_1$ が、部材2には反力 $R_2$ がかかります。こんな感じです⇩

材料力学不静定問題

よって、力のつり合い式を立てると、、、

力のつり合い式

$2R_1-R_2 = 0$

力のつり合い式までは立てることができたでしょうか？

ポイントは、外力がかからないという点です。

こちら⇩の問題では外力がかかっていたのですが、今回は $R_1$ と $R_2$ しかありません。

外力がかからないことに要注意です。

材料力学の不静定問題！よく出る不静定問題を４つのステップ毎に解説 - おりびのブログ

余談ですが、これまでの↑の図を見て灰色の四角形が「剛体板」と「剛体壁」になっていることに気づいたでしょうか？

ちょっと重要ポイント ★「剛体」は絶対に壊れない

★剛体「壁」は動かない

★剛体「板」は動く

この違いは知っておくと戸惑いが減ります！ぜひ覚えといてください。

ステップ②ではそれぞれの部材の縮んだ量を求めていきますよ。

材料力学の不静定問題の解き方②：それぞれの丸棒の縮んだ量を考える

今から、部材1,3と部材2の変形量をそれぞれ求めていきます。

部材1の伸びた量を $\lambda_1$ 、部材2の縮んだ量を $\lambda_2$ としましょう。

伸び縮みした量を求める公式を覚えているでしょうか？

↓

↓

$\lambda = \displaystyle \frac{内力×長さ}{断面積×ヤング率}$

※「長さ」は元の棒の長さのことを言います。変形後の長さではありませんよ。注意してください。

では、もう一度↓の図を見ながら $\lambda_1$ と $\lambda_2$ を求めていきましょう。

材料力学不静定問題

$\lambda_1= \displaystyle \frac{R_1 l}{A_1 E_1}$ , $\lambda_2= \displaystyle \frac{-R_2 (l-\delta+\lambda)}{A_2 E_2}$

間違いやすいポイントは、 $\lambda_2$ の「長さ」です。

部材2の元の長さは $l$ ではなく $l-\delta+\lambda$ です。ここだけ間違えないように注意しましょう。

次のステップでは $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の関係式について考えていきます。

材料力学の不静定問題の解き方③：伸び縮みした量について等式を立てる

いきなり $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の関係式を立てるのは難しいので、まずはそれぞれの部材の変形前・変形後の長さを考えます。

もう一度図を見ながら、変形前・変形後の長さに注目してみましょう。

材料力学不静定問題

◆部材1 : $l-\delta →l$

◆部材2 : $l-\delta+\lambda → l$

では次に、変形後の長さから変形前の長さを引いて変形量を求めましょう。

↓のようになりますね。

◆部材1 : $l - (l-\delta) =\delta$

◆部材2 : $l - (l-\delta+\lambda) = \delta-\lambda$

よって、部材1の変形量 $\lambda_1$ は $\delta$ と等しく、部材2の変形量 $\lambda_2$ は $\delta-\lambda$ と等しくなりますね。

なので、この通り変形量に関する式を立てると、、、

変形量に関する式

$\lambda_1= \displaystyle \frac{R_1 (l-\delta)}{A_1 E_1}=\delta$

$\lambda_2= \displaystyle \frac{-R_2 (l-\delta+\lambda)}{A_2 E_2}=\delta-\lambda$

⇧の式を $R_1$ と $R_2$ について整理しましょう。そうすると以下の式になります。

反力 $R_1$ , $R_2$ に関する式

$R_1= \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l-\delta}$

$R_2= \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l-\delta+\lambda}$

ここで反力 $R_1$ の分母 $l-\delta$ と、反力 $R_2$ の分母 $l-\delta+\lambda$ が邪魔ですよね。もし分母が $l$ だったら計算が楽なのに…

ここで朗報です。

$l-\delta\fallingdotseq l$ と近似してOKです。

$l-\delta+\lambda\fallingdotseq l$ もOKです。

めっちゃ楽ですよね。

↑のように近似してもよい理由を述べます。

$l-\delta$ を $l$ で無理やりくくると、

$l-\delta=l(1-\displaystyle \frac{\delta}{l})$

そして、 $\delta$ に対して $l$ はかなり大きな値です。例えばこのくらいの寸法のイメージです。⇩

$l$ は $180mm$ 、 $\delta$ は $0.04㎜$ くらいとすると、

$\displaystyle \frac{\delta}{L} = \displaystyle \frac{0.04㎜}{180㎜}=0.00022$ となりますね。

$0$ が4個も続きます。材料力学は基本、有効数字3桁ですので $0$ が4個も続く場合はほぼ $0$ とみなしてよいというわけです。

ですので近似が成立して、 $l-\delta =l(1-0.00022) \fallingdotseq l$ となります。

同様の理由で $l-\delta+\lambda$ も $l$ でくくると、 $l-\delta+\lambda\fallingdotseq l$ となることが理解できると思います。

そこで、 $R_1$ と $R_2$ に対して近似を適用すると、、、⇩

反力 $R_1$ , $R_2$ に関する式(近似適用版)

$R_1= \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l}$

$R_2= \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l}$

※ $\lambda-\delta$ は近似できません。どちらも同じくらい小さい値なので。

それでは近似した $R_1$ と $R_2$ を⇩の式に代入すると、、、

力のつり合い式

$2R_1-R_2 = 0$

⇩ 　 ⇩

$2 \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l} - \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l}=0$

この⇧式を $l$ で約分して $\delta$ について整理しましょう。

そうするとこんな感じです⇩

$\delta=\displaystyle \frac{A_2 E_2 \lambda}{2A_1 E_1+A_2 E_2}$

材料力学の不静定問題の解き方④：それぞれの応力を計算する

あとはもう簡単ですね。部材1,3と部材2に関して応力を求めていきましょう。

応力を求める式はこちらです。

応力を求める式

$\sigma_{1,3}= E_1 \displaystyle \frac{\delta}{l}$

$\sigma_{2}= E_2 \displaystyle \frac{ \lambda - \delta}{l+ \lambda}$

もし⇧の式を忘れていたらこちらから公式をチェックしましょう。

【材料力学の重要公式】材料力学の単位を取るために必ず覚えたい公式集 - おりびのブログ

最後の代入は自分でやってみてください。 $\delta$ を代入するだけです。

材料力学の不静定問題まとめ

　　　　

今回は⇧の参考書「演習材料力学 [新訂版]」のp.23の5.2の問題を解説しました。

材料力学でよく出てくる不静定問題中の内部応力についてでした。

伸び縮みした量について等式を立てれたら後は簡単ですね。

長さを近似していい理由もしっかりと理解しましょう。

不静定問題以外にもはりやねじりなど20問以上の問題を解説しています。

ぜひ他の問題も勉強していってください。

また材料力学を勉強する上でおすすめの参考書を2冊ご用意しました。

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また、解説してほしい材料力学の問題がありましたらFollow @OribiStudyのDMでご連絡ください。ありがとうございました。

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