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【参考書を読んでも解けなかった方へ】材料力学の不静定問題の解説します

今回は、剛体板や棒が3本登場する不静定問題を解いていきます。

◆材料力学が苦手。

◆不静定問題は見るだけで吐き気がする

◆問題のイメージすらできないので式すら立たない。

⇧の内、一つでも当てはまったら以下の記事を読んでいきましょう。30分でややこしい不静定問題が解けるようになります。

それでは頑張って材料力学の勉強をしていきましょう。

    

ちなみに今回解説する問題は、⇧の参考書「演習 材料力学 [新訂版]」のp.23の5.2の問題を解説します。

 

 

材料力学の不静定問題

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それではさっそく、難しめの不静定問題を解いていきましょう。

剛体板や棒が3本も出てきてかなりイメージしずらい問題となっています。

しかし、おりびのブログでは変形前と後のイメージ図を独自で作り解説しますのでかなりイメージしやすくなっています。

気負わず頑張っていきましょう。

今日は参考書「演習 材料力学 [新訂版]」のp.23の5.3の問題を解いていきます。問題文は以下です。

材料力学 不静定問題

上の図のような断面積、縦弾性係数を有する3本の棒を剛体板で上、下を固定するとき、棒2が1、3より\lambdaだけ長く作られているとすれば、各棒にはどのような応力が生ずるか。

それではこの問題をステップ毎に解説していきます。

ちなみに、この問題と酷似した問題も解説していますので、よかったらこっちも勉強していってください。⇩

材料力学の不静定問題!よく出る不静定問題を4つのステップ毎に解説 - おりびのブログ

※⇧の問題解説は元の棒の長さが違うのと、外力があるかないかが異なります。

材料力学の不静定問題を解く4つの重要ステップ

材料力学 不静定問題

材料力学の内部応力を解くために、次の4つの手順に従って説明していきます。

この4ステップで必ず不静定問題は解くことができます。

重要ポイント ①力のつり合い式を立てる  

②それぞれの丸棒の縮んだ量を考える

③縮んだ量について等式を立てる

④それぞれの応力を計算する

この4つの手順に従って解説していきます。

材料力学の不静定問題の解き方①:力のつり合い式を立てる

材料力学解く際にあるあるの手順ですね。まずはとりあえず力のつり合い式を立てましょう。

それではさっそく変形前と変形後の図を書いてみます。こんな感じですね⇩

材料力学 不静定問題

⇧の図は、力が一切かかっていない変形前の図です。

※⇧の図は分かりやすくするためにかなり大げさに描いています。本当は1mmよりも小さい隙間しかありません。

この状態から部材1が伸びて、部材2は縮んだと考えましょう。

左の剛体板が右に移動して部材1と部材3が伸びた図がこちらです。⇩

材料力学 不静定問題

どの長さが\lambda\deltal なのかしっかりと把握しましょう。

部材1,3には反力R_1が、部材2には反力R_2がかかります。こんな感じです⇩

材料力学 不静定問題

よって、力のつり合い式を立てると、、、

力のつり合い式

2R_1-R_2 = 0

力のつり合い式までは立てることができたでしょうか?

ポイントは、外力がかからないという点です。

こちら⇩の問題では外力がかかっていたのですが、今回はR_1R_2しかありません。

外力がかからないことに要注意です。

材料力学の不静定問題!よく出る不静定問題を4つのステップ毎に解説 - おりびのブログ

余談ですが、これまでの↑の図を見て灰色の四角形が「剛体板」と「剛体壁」になっていることに気づいたでしょうか?

ちょっと重要ポイント ★「剛体」は絶対に壊れない

★剛体「壁」は動かない

★剛体「板」は動く

この違いは知っておくと戸惑いが減ります!ぜひ覚えといてください。

ステップ②ではそれぞれの部材の縮んだ量を求めていきますよ。

材料力学の不静定問題の解き方②:それぞれの丸棒の縮んだ量を考える

今から、部材1,3と部材2の変形量をそれぞれ求めていきます。

部材1の伸びた量を\lambda_1、部材2の縮んだ量を\lambda_2としましょう。

伸び縮みした量を求める公式を覚えているでしょうか?

 \lambda = \displaystyle \frac{内力×長さ}{断面積×ヤング率}

「長さ」は元の棒の長さのことを言います。変形後の長さではありませんよ。注意してください。

では、もう一度↓の図を見ながら\lambda_1\lambda_2を求めていきましょう。

材料力学 不静定問題

\lambda_1= \displaystyle \frac{R_1 l}{A_1 E_1} , \lambda_2= \displaystyle \frac{-R_2 (l-\delta+\lambda)}{A_2 E_2}

間違いやすいポイントは、\lambda_2の「長さ」です。

部材2の元の長さはlではなくl-\delta+\lambdaです。ここだけ間違えないように注意しましょう。

次のステップでは\lambda_1\lambda_2の関係式について考えていきます。

材料力学の不静定問題の解き方③:伸び縮みした量について等式を立てる

いきなり\lambda_1\lambda_2の関係式を立てるのは難しいので、まずはそれぞれの部材の変形前・変形後の長さを考えます。

もう一度図を見ながら、変形前・変形後の長さに注目してみましょう。

材料力学 不静定問題

◆部材1 : l-\delta →l

◆部材2 : l-\delta+\lambda → l

では次に、変形後の長さから変形前の長さを引いて変形量を求めましょう。

↓のようになりますね。

◆部材1 : l - (l-\delta) =\delta

◆部材2 :   l - (l-\delta+\lambda) = \delta-\lambda

よって、部材1の変形量\lambda_1\deltaと等しく、部材2の変形量\lambda_2\delta-\lambdaと等しくなりますね。

なので、この通り変形量に関する式を立てると、、、

変形量に関する式

\lambda_1= \displaystyle \frac{R_1 (l-\delta)}{A_1 E_1}=\delta

\lambda_2= \displaystyle \frac{-R_2 (l-\delta+\lambda)}{A_2 E_2}=\delta-\lambda

⇧の式をR_1R_2について整理しましょう。そうすると以下の式になります。

反力R_1,R_2に関する式

R_1= \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l-\delta}

R_2= \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l-\delta+\lambda}

ここで反力R_1の分母l-\deltaと、反力R_2の分母l-\delta+\lambdaが邪魔ですよね。もし分母が l だったら計算が楽なのに…

ここで朗報です。

l-\delta\fallingdotseq lと近似してOKです。

l-\delta+\lambda\fallingdotseq lもOKです。

めっちゃ楽ですよね。

↑のように近似してもよい理由を述べます。

l-\deltalで無理やりくくると、

l-\delta=l(1-\displaystyle \frac{\delta}{l})

そして、\deltaに対してlはかなり大きな値です。例えばこのくらいの寸法のイメージです。⇩

l180mm\delta0.04㎜くらいとすると、

\displaystyle \frac{\delta}{L} = \displaystyle \frac{0.04㎜}{180㎜}=0.00022となりますね。

0が4個も続きます。材料力学は基本、有効数字3桁ですので0が4個も続く場合はほぼ0とみなしてよいというわけです。

ですので近似が成立して、l-\delta =l(1-0.00022) \fallingdotseq l となります。

同様の理由でl-\delta+\lambdalでくくると、l-\delta+\lambda\fallingdotseq lとなることが理解できると思います。

そこで、R_1R_2に対して近似を適用すると、、、⇩

反力R_1,R_2に関する式(近似適用版)

R_1= \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l}

R_2= \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l}

\lambda-\deltaは近似できません。どちらも同じくらい小さい値なので。

それでは近似したR_1R_2を⇩の式に代入すると、、、

力のつり合い式

2R_1-R_2 = 0

⇩   ⇩
2 \displaystyle \frac{A_1 E_1 \delta}{l} - \displaystyle \frac{A_2 E_2 (\lambda-\delta)}{l}=0

この⇧式をlで約分して\deltaについて整理しましょう。

そうするとこんな感じです⇩

\delta=\displaystyle \frac{A_2 E_2 \lambda}{2A_1 E_1+A_2 E_2}

材料力学の不静定問題の解き方④:それぞれの応力を計算する

あとはもう簡単ですね。部材1,3と部材2に関して応力を求めていきましょう。

応力を求める式はこちらです。

応力を求める式

\sigma_{1,3}= E_1 \displaystyle \frac{\delta}{l}

\sigma_{2}= E_2 \displaystyle \frac{ \lambda - \delta}{l+ \lambda}

もし⇧の式を忘れていたらこちらから公式をチェックしましょう。

【材料力学の重要公式】材料力学の単位を取るために必ず覚えたい公式集 - おりびのブログ

最後の代入は自分でやってみてください。\deltaを代入するだけです。

材料力学の不静定問題まとめ

    

今回は⇧の参考書「演習 材料力学 [新訂版]」のp.23の5.2の問題を解説しました。

材料力学でよく出てくる不静定問題中の内部応力についてでした。

伸び縮みした量について等式を立てれたら後は簡単ですね。

長さを近似していい理由もしっかりと理解しましょう。

不静定問題以外にもはりやねじりなど20問以上の問題を解説しています。

ぜひ他の問題も勉強していってください。

また、解説してほしい材料力学の問題がありましたらのDMでご連絡ください。ありがとうございました。