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モールの応力円の意味と書き方がすぐ分かる！【現役機械工の大学院生が教えます】

材料力学の解説

モールの応力円,材料力学

この記事では、

◆材料力学が苦手。

◆モールの応力円の解き方が分からない。

というあなた向けの内容です。

ぜひ今日でモールの応力円の解き方をマスターしましょう！

　

YouTubeでも解説動画ありますのでぜひ。 youtu.be

モールの応力円の例題を解いてみよう
モールの応力円を描く前に知っておきたいこと
モールの応力円の例題を解く
モールの応力円の例題まとめ

モールの応力円の例題を解いてみよう

モールの応力円例題

習うより慣れよということで、早速モールの応力円の例題を解説します。

円を描くのに最初は戸惑いますが、慣れれば中学・高校数学の知識だけで解けるので案外簡単です。

では早速解説する問題がこちら⇩

主応力が200MPa、 $\sigma_1=-100$ MPaであるとき、次の問いに答えよ。 ①最大せん断応力の値を求めよ。 ②垂直応力がゼロになる面の方向とその面でのせん断応力の値を求めよ。

今回は↑の問題を解いていきますが、その前にモールの応力円の例題を解くにあたって最低限必要な知識をまとめておきます。

次の項目をしっかりと理解してください。

モールの応力円を描く前に知っておきたいこと

モールの応力円例題

実際に例題を解く前にモールの応力円について最低限知っといてほしい知識や注意事項をまとめます。

◆横軸は $\sigma$ (右向きを正)、縦軸は $\tau$ (下向きを正)

◆角度は $\sigma$ 軸を $0$ °として反時計回りに $2\theta$ 回転する

◆主応力はせん断応力がゼロのため $\sigma$ 軸上の位置する

とりあえずは↑の3つの注意事項を頭に入れておきましょう。

まずは横軸と縦軸が何を表しているか分からないとだめです。

横軸は $\sigma$ で引張り・圧縮応力を、縦軸は $\tau$ でせん断応力をそれぞれ表しています。

また、回転角度ですが、 $\theta$ ではなく $2\theta$ であることに気を付けましょう。

そして、主応力という言葉もよく出てきます。主応力＝せん断応力がかからず引張り・圧縮だけの応力と覚えましょう。

モールの応力円の例題を解く

モールの応力円例題

それではモールの応力円の例題を実際に解いていきます。

まずはモールの応力円を描く手順を3ステップを紹介します。

　

モールの応力円を描く3つの手順

モールの応力円を描く手順は以下の3ステップです。

①横軸に $\sigma$ (右向きを正)、縦軸に $\tau$ (下向きを正)をとる。

②問題文で与えられた２点A( $\sigma_x$ , $\tau_{xy}$ )とB( $\sigma_y$ , $-\tau_{xy}$ )をとる。

③直線ABが $\sigma$ 軸と交わる点を中心とし、ABを直径とする円を描く。

それではこの3つの手順に従って応力円を描いていきましょう。

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縦軸の $\tau$ がなぜ下向き正にすることが多いかというと、重力の向きとそろえたかったからというのを聞いたことがあります。

モールの応力円を描こう①

まずは横軸と縦軸を描いていきます。

↓の図のようになりますね。ステップ①は簡単だと思います。

モールの応力円例題

モールの応力円を描こう②

続いてステップ②では、問題文で与えられた応力値を↑のグラフにプロットしていきます。

「主応力が200MPa」と書かれているので、 $\sigma$ 軸上に点A(+200,0)をプロットしましょう。↓の図のようになります。

モールの応力円例題

次に「 $\sigma_1=-100$ MPa」と書かれているので、 $\sigma$ 軸上に点B(-100,0)をプロットしましょう。↓の図のようになります。

モールの応力円例題

モールの応力円を描こう③

続いて、点Aと点Bが直径となるように円を描きます。

中心の座標はいくらになるでしょうか？

$円の中心=\displaystyle \frac{200+(-100)}{2}=50$

ですので、中心の座標を直線AB上にプロットします。

モールの応力円例題

点A,Bを直径とした円を描きましょう。こんな感じの円が描けます↓

モールの応力円例題

簡単ですね。高校数学の知識で円を描くことができました。

続いて問(1)を解いていきましょう。

(1) 最大せん断応力の値を求めよう

縦軸はせん断応力 $\tau$ を表しており、縦軸の値に着目すると、２ヵ所最大せん断応力が存在します。

円の半径が150であることに注意すると、答えは

最大せん断応力は $\tau_{max}=±150$ MPaです。

続いて問(2)を解きましょう。

(2)垂直応力がゼロになる面の方向とせん断応力の値を求めよう

続いて問(2)を解いていきましょう。

垂直応力がゼロとなるのはモールの応力円上ではどの位置なのかを考えましょう。

垂直応力とは横軸の $\sigma$ を表しているので、 $\sigma$ 軸がゼロとなるところを探せばOKです。

つまり、 $\tau$ 軸上で円と重なる点を求めましょう。

↓の図で言うと点Cと点Dです。

モールの応力円例題

では実際に、点Cと点Dの値を求めましょう。

円の中心の座標が(50,0)、円の半径が150なので、三平方の定理より、

$点Cの\tau座標=\sqrt{150^{2}-50^{2}}$

つまり、

$点Cの\tau座標=+100\sqrt{2}=+141$

同様に考えると、点Dの値は、

$点Dの\tau座標=-100\sqrt{2}=-141$

次に、点Cと点Dの角度を求めましょう。点Aから反時計回りに何度回転したかを考えます。

まずは点Dまでの角度 $2\theta$ を求めます。前準備として直角三角形の三角比の定義から $\varrho$ を求めましょう。

モールの応力円例題

$\varphi=cos(\displaystyle \frac{50}{150})=70.53°$

したがって、

$2\theta=180-70.53=109.47°$

両辺2で割ると、

$\theta=+54.7°$

以上をまとめると、

$\theta=+54.7°$ で $\tau=-141$ MPa

$\theta=-54.7°$ で $\tau=+141$ MPa となります。

モールの応力円の例題まとめ

モールの応力円例題

今回はモールの応力円の例題を解説しました。

もう一度重要事項をまとめると、最低限以下の3つは理解しましょう。

◆横軸は $\sigma$ (右向きを正)、縦軸は $\tau$ (下向きを正)

◆角度は $\sigma$ 軸を $0$ °として反時計回りに $2\theta$ 回転する

◆主応力はせん断応力がゼロのため $\sigma$ 軸上の位置する

そして、モールの応力円の描き方は以下の3ステップです。もう一度おさらいしましょう。

①横軸に $\sigma$ (右向きを正)、縦軸に $\tau$ (下向きを正)をとる。

②問題文で与えられた２点A( $\sigma_x$ , $\tau_{xy}$ )とB( $\sigma_y$ , $-\tau_{xy}$ )をとる。

③直線ABが $\sigma$ 軸と交わる点を中心とし、ABを直径とする円を描く。

材料力学のテストがヤバい方はこちらのまとめ記事がおすすめです↓

材料力学, 断面二次モーメント

【材料力学の解き方一覧！】材料力学のおすすめ参考書の情報あり - おりびのブログ

　

また材料力学を勉強する上でおすすめの参考書を2冊ご用意しました。

マンガでわかる材料力学

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