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【三角形の断面二次モーメントの求め方】平行軸の定理を使います

断面二次モーメントって積分使うし、図形の種類も多くて厄介な分野ですよね。

正方形や長方形ならまだ単純ですが、円や三角形になると初見では複雑でよくわからないと思います。

(※別記事で、長方形、正方形、円、中空円、三角形、楕円の図形と断面二次モーメントの公式をまとめました。ぜひこちらもご覧ください↓)

【断面二次モーメントの公式まとめ】公式・式の意味・導出過程が分かる!

そこで本記事では、導出が複雑な三角形の断面二次モーメントの公式をどこよりも分かりやすく解説します。

正直、実際に使う材料の形は長方形や円ばかりで三角形の材料を使うことはほとんどありませんが、大学の定期試験で”三角形の断面二次モーメントの公式を導出せよ”なんて問題が出る可能性が十分にあります。

この機会に三角形の断面二次モーメントの公式と導出をおさらいしましょう。

断面二次モーメント 公式

三角形の断面二次モーメントの公式とは?

まずは、三角形の断面二次モーメントの公式と図形のみまとめます。

断面二次モーメント 公式

 I_z' =\displaystyle \frac{bh^3}{36}

それでは今から、材料力学の初心者でも分かるようにステップに分けて解説して、三角形の断面二次モーメントを求めます。

まずは、断面二次モーメントを求めるにあたり必ず知っておいてほしい事柄を2点紹介します。

断面二次モーメントの公式を求めるために必要な知識は2つだけです

断面二次モーメント 公式

断面二次モーメントの公式を求めるために必要な知識は以下の2つしかありません。

* 断面二次モーメントの計算式

* 平行軸の定理の使い方

それでは↑の2つの知識について簡単に解説していきます。

断面二次モーメントの計算式

1つ目は断面二次モーメントの計算式です、積分を使うので少々ややこしく感じるかもしれません↓

断面二次モーメントの計算

I_z = \int_{A}  y^2 dA

y軸がどの方向になるかをしっかりと理解しておきましょう。

基本的にはz軸が横方向で、y軸が縦方向と思っていて大丈夫です。

詳しくはこちらで解説していますのでよかったら見てみてください↓

【断面二次モーメントの求め方】複雑な図形の断面二次モーメントが解ける

平行軸の定理の使い方

2つ目に知っておきたい知識は「 平行軸の定理の使い方」です。

平行軸の定理を使うと、見たことないような複雑な形のでも簡単に断面二次モーメントを求めることができるという技のことです。

計算が容易になるz軸に関して求めた断面二次モーメント」と、「重心Gのy方向の距離y_G^{2}」と「図形の面積A」を求めたらOKということだけ頭に入れておいてください。

詳しくはこちらで解説しています↓

【断面二次モーメントの求め方】複雑な図形の断面二次モーメントが解ける

それでは準備も終わったので早速、三角形の断面二次モーメントを求めていきましょう!

三角形の断面二次モーメントを求める手順は全部で4ステップです

断面二次モーメント 公式

三角形の断面二次モーメントを求める手順は全部で以下の4ステップしかありません。

重要ポイント ①計算が容易になるz軸を決める  

②微小面積dAを求める

③計算が容易なz軸に関してI_z = \int_{A}  y^2 dAを求める

④平行軸の定理を用いて解を出す

この4つの手順に従って解説していきます。

①と④は比較的簡単ですが、②と③が難しいです。

できるだけ分かりやすく、図をたくさん使って解説していきます!

①計算が容易になるz軸を決める

今回は2種類の軸が登場します。

1つ目は、三角形の重心Gを通るz'軸です。

2つ目は、自分で勝手に設定するz軸です。違いを明確にするために「'」を付けておきましょう。

あとで平行軸の定理を使うために、自分で勝手にz軸を設定しましょう。

z軸は基本的には図形の一番上か一番下に設定しましょう。

今回は↓の図のように、三角形の一番上をz軸とします。

断面二次モーメント 公式

②微小面積dAを求める

微小面積dAを求めるのが少々難しいかもしれません。ゆっくり丁寧に解説します。

z'軸からyだけ離れたところに位置する超細い面積dAを求めます。

↓の図の「微小面積dA」という部分の面積を求めます。

断面二次モーメント 公式

この面積は高さがdyの台形ですね!

しかし、高さdyは目に見えるか見えないかの超短い長さを表しているので、ほぼ長方形ということとみなして計算します。

台形を長方形に近似するという考え方が非常に大事です。

微小面積dAを求めるには、高さの他にあと底辺の長さが必要です。

しかし底辺の長さを求めるのが難しいです。微小面積dAの底辺はbではありませんよ!

微小面積dAの底辺は\displaystyle \frac{b}{h}yとなります。なぜだか分かるでしょうか?

もし分からなかったら、↓のグラフを見てください。

断面二次モーメント 公式

このグラフは横軸がyの長さ、縦軸は微小面積の底辺の長さtを表しています。

yの長さが0の時はもちろん微小面積の底辺の長さも0ですよね。

yの長さがhの時はもちろん微小面積の底辺の長さはbですよね。

この一次関数のグラフを式で表してみましょう。

そうすると、微小面積dAの底辺tt = \displaystyle \frac{b}{h}yとなります。

一次関数を求めるのは中学校の内容ですので簡単ですね。

それでは、長方形の微小面積dAは底辺×高さ なので、

微小面積dA

dA = t × dy

dA = \displaystyle \frac{b}{h}y × dy

難しい②は終わりました。次のステップに行きましょう!

③計算が容易なz軸に関して断面二次モーメントを求める

ステップ③ではまず、計算が容易なz軸に関してI_z= \int_{A}  y^{2} dAを求めましょう。

ステップ②で得たdA = \displaystyle \frac{b}{h}y × dyを代入しましょう。

I_z = \int_A y^{2} dA

I_z = \int_0^{h}  y^{2} × \displaystyle \frac{b}{h}y dy

I_z = \displaystyle \frac{b}{h} \int_0^{h}  y^{3} dy

I_z = \displaystyle \frac{bh^{3}}{4}

この計算が容易なz軸に関する断面二次モーメントI_z = \displaystyle \frac{bh^{3}}{4} は後で使います。

続いて三角形の面積と断面一次モーメントy_Gをそれぞれ求めていきましょう。

三角形の面積は簡単ですね、\displaystyle \frac{bh}{2} ですね。

問題は断面一次モーメントy_Gです。

y_Gは重心Gのy方向の距離のことでしたね。

断面一次モーメントy_Gの式は↓のようになります。

断面一次モーメントの計算

y_G = \displaystyle \frac{\int_{A}  y dA}{A}

断面一次モーメントは断面二次モーメントと似てますね。それでは代入して断面一次モーメントを求めましょう。

y_G = \displaystyle \frac{1}{A}\int_{A}  y dA

y_G = \displaystyle \frac{1}{A}\int_{0}^{h}  y × \displaystyle \frac{b}{h}y  dy

y_G = \displaystyle \frac{2}{bh}× \displaystyle \frac{b}{h}\int_{0}^{h}  y^{2}  dy

y_G = \displaystyle \frac{2}{3}h

※余談ですが三角形の重心は、頂点から2:1の距離にあるというのが断面一次モーメントを計算することで分かりましたね。

④平行軸の定理を用いて解を出す

ついに最後のステップです。

そして、↓に示した平行軸の定理に式を代入して、三角形の重心Gを通るz'軸周りの断面二次モーメントを求めます。

断面二次モーメント 三角形

I_z' = I_z - (y_G)^{2}×A

I_z' = \displaystyle \frac{bh^{3}}{4}  - (\displaystyle \frac{2}{3}h)^{2}×\displaystyle \frac{bh}{2}

I_z' = \displaystyle \frac{bh^{3}}{4}  - (\displaystyle \frac{2}{3}h)^{2}×\displaystyle \frac{bh}{2}

I_z' = \displaystyle \frac{bh^{3}}{4}  - \displaystyle \frac{2}{9}bh^{3}

I_z' = \displaystyle \frac{bh^{3}}{36}

このI_z' = \displaystyle \frac{bh^{3}}{36}が三角形の断面二次モーメントです!

できたでしょうか?

三角形の断面二次モーメントの公式の求め方まとめ

断面二次モーメント 公式

三角形の断面二次モーメントの求め方は理解できたでしょうか?

大事なことをもう一度まとめますと、、、

★とりあえずI_z = \int_{A}  y^{2} dAの式を使う。

★まず微小面積dAを求めたらなんとなる。

★平行軸の定理を使うと複雑な形状の断面二次モーメントも求めることが可能。

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