おりびのブログ

written by oribi

材料力学のはりの解き方を丁寧に解説!初めての集中荷重編【図解多め】

材料力学 はり,材料力学 梁

この記事を読んでくれているあなたは、

◆材料力学が苦手。

◆はりの集中荷重の問題の解き方が分からない。

◆SFD、BMDが書けない。

という悩みを抱えていませんか?

この記事では、図解多めで集中荷重のはりの問題を丁寧に解説しています。

はりの問題全然わからないという方でも、20分で理解できるように丁寧な解説を作りました。

では、材料力学の勉強スタートです!

材料力学のはりの問題って?

材料力学のはりの問題は、どこの大学でも期末試験で頻出の範囲ですよね。

よく出る割に、せん断力や曲げモーメントの求め方が分かりにくい、上向きを正にしたらいいのか下向きを正にしたらいいのかわからないというような悩みを抱えている方がいると思います。

材料力学の中でも、はりの問題は考え方が理解できれば難しい公式もないので得点源にすることができます。

ぜひ一緒に頑張ってはりの問題を理解していきましょう。

材料力学のはりの問題の解き方(集中荷重)

材料力学 はり,材料力学 梁

まずは↑のような2つ集中荷重がかかる片持ち梁の問題の解き方をステップ毎に解説します。 $$ \ $$ 初めに4つの重要ポイントをまとめました。この4つの手順に従って解説していきます。 $$ \ $$ もし迷ったら、この4つの重要事項を何度も見直してみてください。

重要ポイント

①板の左端を原点として、右向き正のx軸[m]をとる

②区間ごとに場合分けする

③刀で板を切って仮想的な断面を作る

④仮想的な断面の印にかかる力とモーメントを考える

この4ステップの順番通りにすれば、はりの問題は必ず解けます $$ \ $$ それでは、実際に考えていきましょう!

はりの集中荷重を解く時のステップ①:右向き正のx軸[m]をとる

まずは、板の左端を原点として、右向き正のx軸[m]をとりましょう。

※板の右端を原点として、左向きを正としても解けるには解けますが、考えにくいので右向き正をおすすめします。

はりの集中荷重を解く時のステップ②:区間ごとに場合分けする

区間ごとに場合分けして力とモーメントを考えるということが非常に重要です。 $$ \ $$

じゃあ、どの区間で場合分けするの?

$$ \ $$ と、疑問に感じると思います。結論からいうと、 $$ \ $$

★板の荷重がかかる場所ごとに場合分けします

$$ \ $$

では、今回の問題ではどこで場合分けするでしょうか?ヒントは2つの区間に場合分けして考えます。

今回の問題では、 0 \leqq x \leqq 1 と、1 \leqqx\leqq l の2つの区間で場合分けしましょう。

はりの集中荷重を解く時のステップ③:刀で板を切って仮想的な断面を作る

材料力学 はり,材料力学 梁

それではまずは、0 \leqq x \leqq 1 の間の好きなところを刀で切り、仮想断面の印にかかる力とモーメントを考えていきましょう。

※仮想断面の印とは刀で切った切り口を表します。

材料力学 はり,材料力学 梁

仮想的に刀で切ると、↑のような図になりますね!必ず自分で図示できるようにしましょう!

はりの集中荷重を解く時のステップ④:仮想断面の印にかかる力とモーメントを考える

それではついに最終ステップです。ステップ4での重要ポイントをまとめました。

重要ポイント

印より右側はないものと考える  

・板には集中荷重2Pが加わっているが全く動かない(回転しない)ものと考える  

印にかかる力とモーメントを考える

印より右側は物体がなくなったと考えてください。いいですか、印より右側のことは考えてはいけません、忘れてください笑

そして、板の左端には集中荷重2P が加わっていますが、全く動かない(回転しない)ものと考えてください。

ここが混乱ポイントですが、集中荷重が加わっているにも関わらず板がなぜ全く動かないかを考えましょう。

答えは、集中荷重による力と印周りのモーメントを打ち消し合う力・モーメントが印に発生しているからです。

印にかかる力・モーメントを点線で表してみました。

点Aにかかる集中荷重とちょうど反対向きになっていることに注意してください。

ここで、符号に関する重要ポイントを説明します。

>重要ポイント

・縦軸は下向きが正  

・モーメントは反時計回りを正

大多数の材料力学の教科書は↑のように符号を定めているので、僕もy軸は下向きが正、モーメントは反時計回りを正で考えていきます。

※余談ですが、重力が下向きに働いているのでy軸は下向きが正の方が都合がいいそうです。

材料力学 はり,材料力学 梁

それでは、点線で表した印にかかる力・モーメントは具体的にはいくらの値でしょうか?符号に気を付けて考えてみましょう。

ここまでの数式をまとめますと、

点線で表した印にかかる力= -2P [N]

点線で表した印にかかるモーメント=力×距離=-2Px [Nm]

になりますね!ここまで問題ないですか?

材料力学 はり,材料力学 梁

印にかかる力が上向きなら符号はマイナスというのはすぐ分かると思うのですが、モーメントの符号は分かりにくいですよね。

そこで直感的に理解できる簡単な方法をご紹介します。

重要ポイント

下向きにたわむ→マイナスはがっかり

f:id:oribi:20190603111543p:plain 引用:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/outotu.htm

この右側のイラストで覚えてしまいましょう。

ここまでの数式をまとめますと、

[ⅰ] 0 \le x \leqq 1 のとき、

せん断力F = -2P [N] ・・・(1)

曲げモーメントM = -2Px [Nm]・・・(2)

1 \leqq x \leqq l も同様に解いてみよう

それでは、1 \leqq x \leqq l の範囲も同じように考えて解いていきましょう。

1 \leqq x \leqq ℓ の間を刀で切ると、仮想断面の印にかかる力・モーメントは下図のようになります。

材料力学 はり,材料力学 梁

力とモーメントが2つずつあるので複雑に見えますが、考え方は先ほどと全く同じですのでゆっくり考えてみてください。

ここまでの数式をまとめますと、

[ⅱ] 1 \leqq x \leqq l のとき、

せん断力F = -2P+P = -P [N]・・・(3)

曲げモーメントM = -2Px+P(x-1) = -Px-P [Nm]・・・(4)

分かってきたでしょうか?

それでは次に、材料力学のはりの問題のメインであるSFDBMDのグラフを書いていきます!

材料力学のはりの問題のメイン:SFDとBMDグラフを書こう!

SFDとBMDとは

SFDとBMDという言葉を聞いたことあるでしょうか?

SFDとはせん断力線図(shearing force diagram)、BMDとは曲げモーメント線図(bending moment diagram)のことです。

SFD板の距離と力のグラフBMD板と距離とモーメントのグラフと理解しておいてください。

SFDのグラフの書き方

SFDのグラフを書く時のポイントをまとめました。

重要ポイント

・横軸は原点からの距離[m]  

・縦軸はせん断力[N] (上向き正)

横軸は原点からの距離縦軸はせん断力としてください。

そこで注意点ですが、縦軸は上向きを正としてください。

縦軸を下向き正にしてもいいのですが、普段と見慣れないグラフになって不便ですので上向き正をおすすめします。

材料力学 はり,材料力学 梁

↑のグラフの赤線がSFDのグラフです。

SFDを書く時に使う式

[ⅰ] 0 \le x \leqq 1 のとき、

  せん断力F = -2P [N] ・・・(1)

[ⅱ] 1 \leqq x \leqq l のとき、

  せん断力F = -2P+P = -P [N]・・・(3)

式(1),(3)を素直にグラフにしていけばSFDはおしまいです。

点C(x=1)で不連続になることに気を付けてください。

では、続いてBMDも書いていきましょう。SFDができたらBMDも簡単です。

BMDのグラフの書き方

横軸は原点からの距離縦軸は曲げモーメントとしてください。

そこでSFDと同じ注意点ですが、縦軸は上向きを正としてください。

先ほどと同じで、縦軸は上向き正の方が分かりやすいです。

材料力学 はり,材料力学 梁

BMDを書く時に使う式

[ⅰ] 0 \le x \leqq 1 のとき、

  曲げモーメントM = -2Px [Nm]・・・(2)

[ⅱ] 1 \leqq x \leqq l のとき、

  曲げモーメントM = -2Px+P(x-1) = -Px-P [Nm]・・・(4)

BMDもSFDと同じ考え方で、式(2),(4)を素直にグラフにしていけばBMDはおしまいです。

点C(x=1)で連続になることに気を付けてください。

2つの赤線の傾きは2倍異なることに注意してください。

材料力学のはりの問題まとめ

材料力学のはりの集中荷重は理解できたでしょうか?

何度も復習して頑張っていきましょう!

また、解説してほしい材料力学の問題や質問がありましたらのDMでご連絡ください。ありがとうございました。