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材料力学の問題解説

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【材料力学の典型的な問題】自重に関する問題の解答・解説(図解あり)

材料力学の解説

この記事は、

◆材料力学の試験が近くてヤバい。

◆材料力学の自重の問題の解き方が分からない。

◆材料力学の問題の解説が読みたい。

というあなた向けの内容です。

分かりやすくするために図解を多く使っています。

初心者でも20分で理解できるように５つのステップに分けて順番に解いていきます。

ぜひ材料力学の問題を勉強していきましょう！

ちなみに今回解説する問題は、教科書「改訂新版図解でわかるはじめての材料力学」のp.48の演習問題です。

材料力学不静定問題,材料力学問題

材料力学の応力・自重の問題
材料力学の応力・自重の問題を解くための重要５ステップ
材料力学の自重の問題まとめ

材料力学の応力・自重の問題

今日解説する問題は、応力と自重に関する応用問題です。

問題文は以下です。

断面が円形の柱を立てた。柱の自重を考慮して応力が一定になるようにするには、柱に対して上向きにどのような力を加えればいいか。断面積は一定とする。

今日は、↑の問題を５つのステップ毎に解説していきます。

それでは材料力学を勉強していきましょう。

材料力学の応力・自重の問題を解くための重要５ステップ

重要ポイント ①問題をイメージするために絵を書く　
②物理量を文字で置きかえる
③位置 $x$ よりも上側の部分の質量を求める

④位置 $x$ の仮想断面にかかる力を考える

⑤伸び $\lambda = 0$ を考える

この５つのステップ通り解き進めれば必ず解けます。

それでは頑張って勉強していきましょう！

材料力学の自重の問題を解くためのステップ①：問題をイメージするために絵を書く

今回の問題はかなり頻出ですが、苦手な人が多い印象です。

僕も昔は苦手でした。

なぜなら、問題文に絵が描かれていないし物理量も書かれていないので、何からしたらよいか分からないからです。

そういった方向けに丁寧に解説していきます。

まずは、この問題文通り絵を書いてみましょう。

皆さんも考えてみてください…

　

↓ 　

↓ 　

↓ 　

↓ 　

　　今回の問題文通り絵を書くと以下のようになりますね。

この立体図を見て問題のイメージは湧きましたか？

材料力学不静定問題,材料力学問題

材料力学の自重の問題を解くためのステップ②：物理量を文字で置きかえる

続いて、真横から見た平面図は↓のようになります。

ここで、物理量を自分で定義していきましょう。

材料力学不静定問題,材料力学問題

上の図の通り、円柱の断面積を $A=\displaystyle \frac{\pi d^{2}}{4}$ 、

円柱の密度を $\rho$ としましょう。

そして、円柱に対して上向き(- $x$ 軸向き)に力 $F$ を定義しましょう。

また、物体には重力が働いているので $mg$ を下向きに書きます。

ここまでは大丈夫でしょうか？

材料力学の自重の問題を解くためのステップ③：位置 $x$ よりも上側の部分の質量を求める

ポイントですが、位置 $x$ よりも上側の部分の質量 $m$ を求めてみましょう！

材料力学不静定問題,材料力学問題

↑の図のように原点0から位置 $x$ までの円柱(黄色の部分)だけを考えましょう。

いいですか、位置 $x$ より下側は無いものとして考えてください。

「密度= 質量/体積」なので、

$\rho= \displaystyle \frac{m}{Ax}$ になりますね！

※「体積 = 断面積×高さ」に注意しましょう。

つまり、位置 $x$ よりも上側の部分の質量 $m$ は、

$m = \rho Ax$ になりますね！

次のステップ④が最も重要です！

頑張っていきましょう。

材料力学の自重の問題を解くためのステップ④：位置 $x$ の仮想断面にかかる力を考える

ステップ④が最も重要です。

仮想断面にかかる力を考えましょう。

ステップ③でも言いましたが、位置 $x$ より下側は無いものとして考えてください。

点線の部分が無いにも関わらず黄色の部分が下に落ちないのはなぜでしょうか？

それは、仮想断面に対して上向きに力 $mg$ が、仮想断面に対して下向きに力 $F$ が発生しているからです。

詳しくは↓の図をご覧ください。

材料力学不静定問題,材料力学問題

次に、位置 $x$ (赤線の仮想断面)にかかる力 $P(x)$ はどうなるか考えましょう。

下向きを正とすると、

$P(x) = F - mg = F - \rho Agx$

ここが理解できればもう後は簡単ですよ！

材料力学の自重の問題を解くためのステップ⑤：伸び $\lambda = 0$ を考える

いよいよ最終ステップです。

突然ですが、力と伸びの関係式を思い出せるでしょうか？

$\sigma=\displaystyle \frac{P}{A} = E \varepsilon = E\displaystyle \frac{\lambda}{l}$ より、

$\lambda = \displaystyle \frac{Pl}{AE}$

↑の $\lambda$ は、長さ $l$ 全体の場合を考えていますが、あえて微小区間 $dx$ の微小伸び $d \lambda$ を求めてみましょう。

↓の図を参照してください。

材料力学不静定問題,材料力学問題

※微小区間 $dx$ は目に見えないぐらい小さいと仮定するので、ほぼ位置 $x$ と等しい位置にあると考えてください。

先ほど、長さ $l$ 全体の場合は↓のような式で伸び $\lambda$ を表しましたが、

$\lambda = \displaystyle \frac{Pl}{AE}$

もし微小伸び $d \lambda$ を考える場合は次のような式になります。↓

$d \lambda = \displaystyle \frac{P}{AE} dx$

お分かりいただけたでしょうか？　

$l$ がなくなって、 $l$ の代わりに $dx$ になったことを。

$d \lambda = \displaystyle \frac{P}{AE} dx$ に $P = F - \rho Agx$ を代入すると、

$d \lambda = \displaystyle \frac{1}{AE} (F - \rho Agx) dx$

これで、微小区間 $dx$ の微小伸び $d \lambda$ を求めることができました。

しかし、本当に知りたいのは全体の伸び $\lambda$ ですので、両辺を積分して $\lambda$ を求めましょう。

全体の伸び $\lambda$ は、

$\lambda = \displaystyle \frac{1}{AE} \int_0^{l} (F - \rho Agx) dx$

$=\displaystyle \frac{1}{AE} [Fx - \displaystyle \frac{1}{2}\rho Agx^{2}]_{0}^{l}$

$=\displaystyle \frac{1}{AE} (Fl - \displaystyle \frac{1}{2}\rho Agl^{2})$

ここで、応力 $\sigma$ が一定になるためにはどのような条件になればいいか考えましょう。

応力 $\sigma$ と伸び $\lambda$ は↓の式で表されますので、

$\sigma = \displaystyle \frac{E}{l} \lambda$

応力 $\sigma$ は伸び $\lambda$ と比例の関係がありますね。( $E,l$ はどちらも材料固有の値なのでただの定数のため。)

つまり、応力 $\sigma$ が一定となるためには伸び $\lambda$ が一定であればいいので、

$\lambda = 0$ を解けば終了です！

では、実際に解いてみましょう。

$0 =\displaystyle \frac{1}{AE} (Fl - \displaystyle \frac{1}{2}\rho Agl^{2})$

両辺 $Fl$ で割り算すると、

$Fl = \displaystyle \frac{1}{2}\rho Agl^{2}$

よって $F$ について解くと、

$F = \displaystyle \frac{1}{2}\rho Agl$

$F = \displaystyle \frac{1}{2}\rho gl・\displaystyle \frac{\pi d^{2}}{4}$

$F = \displaystyle \frac{1}{8}\pi \rho gld^{2}$

これで解答は以上です。

微小区間 $dx$ の微小伸び $d \lambda$ を考えて積分するところが難しかったですね！

ここまでばっちり理解できましたでしょうか？　

材料力学の自重の問題まとめ

材料力学不静定問題,材料力学問題

自重を考慮した問題は積分を使わないといけないので少々戸惑いますね。

何度も復習して、何も見ずともすらすら解けるように頑張りましょう。

この記事の他にも材料力学のはりの問題や不静定の問題の解説も作りました。合わせて勉強してみてください。

合わせて読みたい！

また、解説してほしい材料力学の問題がありましたらFollow @OribiStudyのDMでご連絡ください。ありがとうございました。

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