【材料力学】遠心力の問題を図解付きで説明しました【初心者の材料力学】

この記事は、

◆材料力学の試験が近くてヤバい。

◆材料力学の問題の解き方が分からない。

◆材料力学の遠心力の問題の解説が読みたい。

というあなた向けの内容です。

今日解説する問題は、材料力学の遠心力に関する問題で少々難しめです。

しかし、図多めでイメージしやすく、ステップ毎に解説しているので、割かし理解しやすいと思います。

頑張っていきましょう！

ちなみに今回解説する問題は、教科書「改訂新版図解でわかるはじめての材料力学」のp.48の演習問題です。　　　

YouTubeでも解説動画ありますのでぜひ。 youtu.be

材料力学の遠心力の問題文
材料力学の遠心力の問題を解くための重要５ステップ
材料力学の遠心力の問題まとめ

材料力学の遠心力の問題文

今日解説する問題は、遠心力に関する応用問題です。

問題文は以下です。

長さ $3m$ 、断面積 $10mm^{2}$ のステンレス鋼製(単位体積当たりの重量 $78.6×10^{-6} N/mm^{3}$ 、縦弾性係数 $193GPa$ )のワイヤーロープがある。一端に質量 $0.1㎏$ のおもりを取り付けて、他端を中心に毎分300回転させた。このとき遠心力の影響でワイヤーロープに生じる最大応力と全体の伸びを求めよ。

という問題を解説していこうと思います。

控えめに言って初見プレイではまず解けないですね。難しすぎですｗ

ステップ毎に分かりやすく解説していきますので、ぜひこの機会に材料力学の遠心力の問題をマスターしましょう！

材料力学の遠心力の問題を解くための重要５ステップ

重要ポイント ①問題をイメージするために絵を書く　
②SI単位系に全て置き換える
③自由端を原点として $x$ 軸を置く

④位置 $x$ にある微小体積 $Adx$ の微小質量 $dm_{s}$ を求める

⑤積分して遠心力 $P(x)$ と伸び $\lambda$ を求める

この５つのステップ通り解き進めれば必ず解けます。

それでは頑張って勉強していきましょう！

材料力学の遠心力の問題の解き方①：問題をイメージするために絵を書く

物理の問題を解く時は絵を書くことが何よりも大事です。

絵を書かないことには材料力学の勉強は始まらないと思ってください。

イメージ図は↓のような感じですね。

材料力学問題,材料力学遠心力

自分の予想と一致していましたか？

材料力学の遠心力の問題の解き方②：SI単位系に全て置き換える

ここで突然ですが、SI単位系と聞いて即答できるでしょうか？

もしピンときてない人がいましたら一度「SI単位系とは」とググってほしいのですが、簡単にいうと全世界共通の単位のことです。

ですので、日本特有の1寸という単位や、アメリカで使われているヤード・ポンドという単位はSI単位系ではありません。

重さは $㎏$ 、長さは $m$ 、時間は $s$ 、回転は[rad/s]で表されるような単位のことです。

今回の問題文にはSI単位系で書かれていない数値がたくさん登場してきたのでまずはそれを整理していきましょう。

では、ざいりきを解く前の下準備をしていきます！

・ワイヤーロープの長さ $l = 3m$

・ワイヤーロープのヤング率 $E = 193GPa$

・おもりの重さ $m = 0.1kg$

・断面積 $A = 10mm^{2} = 10^{-5}m^{2}$

・ワイヤーロープの密度 $\rho = 78.6×10^{-6} N/mm^{3}$ $= \displaystyle \frac{78.6×10^{-6} }{9.81×10^{-9}} kg/m^{3}$ $= 8.01223×10^{3} kg/m^{3}$

※ワイヤーロープの密度の単位を $N/mm^{3}$ から $kg/m^{3}$ に変換するのが戸惑いますね！

重力加速度 $g = 9.81 m/s^{2}$ で割ることに気を付けましょう。

・回転数 $\omega = 毎分300回転$ $= 300 \displaystyle \frac{2 \pi}{60}$ $= 10\pi rad/s$

これで全ての数値をSI単位系に変換しました。

いよいよステップ③から問題を解いていきます。

材料力学の遠心力の問題の解き方③：自由端を原点として $x$ 軸を置く

自由端とは、対象物が固定されていない方のことを言います。

自由端を原点として $x$ 軸を置くと↓のような図になります。

材料力学問題,材料力学遠心力

逆に固定端を原点として $x$ 軸を置いてもいいですが、積分するときに少々難しくなるので、↑のように $x$ 軸を置く方が無難です。

材料力学の遠心力の問題の解き方④：位置 $x$ にある微小体積 $Adx$ の微小質量 $dm_{s}$ を求める

まずは、↓の図をご覧ください。

材料力学問題,材料力学遠心力

※ $dx$ は十分小さいと仮定するので薄い膜のようなものだとイメージしてください。

まずは、原点から位置 $x$ のところにある微小体積 $Adx$ の微小質量 $dm_{s}$ を求めましょう。

「質量 = 密度 × 体積」より、

$m_s = \rho × Adx$

では、ステップ⑤でがんがん積分使っていきます。

材料力学の遠心力の問題の解き方⑤：積分して遠心力 $P(x)$ と伸び $\lambda$ を求める

原点から位置 $x$ のところに生じる遠心力 $P(x)$ は、 $x$ の関数として表すと、

$P(x) = m_s(l-x)\omega^{2} + ml \omega^{2}$

$= \rho A(l-x)\omega^{2} dx+ ml \omega^{2}$

したがって、ワイヤーロープの位置 $0～x$ までの遠心力の和 $P_{total} (x)$ は、

$P_{total} (x)$

$= \int_0^{x} \rho A(l-X)\omega^{2} dX+ ml \omega^{2}$

$= \rho A \omega^{2} (lx-\displaystyle \frac{x^{2}}{2})+ ml \omega^{2}$

※↑の式の積分範囲が $0～x$ というのが難しいですよね。↑の式の右辺は $x$ ではなく $X$ に変わることに注意してください。

材料力学問題,材料力学遠心力

↑の図をよく見ながら $P(x)$ と $P_{total} (x)$ の違いが理解できるように勉強しましょう。

したがってワイヤーロープの位置 $0～x$ までの応力の和 $\sigma_{total} (x)$ は、

$\sigma_{total} (x)$

$= \displaystyle \frac{P_{total} (x) }{A}$

$= \rho \omega^{2} (lx-\displaystyle \frac{x^{2}}{2})+ \displaystyle \frac{ml \omega^{2}}{A}$

この応力の計算は理解できたでしょうか？

今回求めたい最大応力は、 $x = 3$ を代入すればよいので、( $xの定義域は0～3)$

$\sigma_{total} (3)$

$= 8.01223×10^{3}×(10\pi)^{2}×$

$(3×3-\displaystyle \frac{3^{2}}{2})+\displaystyle \frac{0.1×3×(10\pi)^{2}}{10^{-5}}$

$= 6.51936×10^{7} Pa$

$= 65.2MPa$

答えは $= 65.2MPa$ です。

※有効数字は3桁で表しています。

これで、一つ目の問題は解き終わりました。

続いてワイヤーロープの全体の伸び $\lambda$ を求めていきます。

全体の伸び $\lambda$ を求める前に下準備として原点から位置 $x$ での微小伸び $d\lambda$ は、

$d\lambda =\displaystyle \frac{P_{total} (x) }{AE} dx$ より、

$d\lambda =$

$\displaystyle \frac{1}{AE} ( \rho A \omega^{2} (lx-\displaystyle \frac{x^{2}}{2})+ ml \omega^{2} )$

↑の $d\lambda$ を $0～x$ まで積分すると、求めたい全体の伸び $\lambda$ は、

$\lambda= \int_0^{3} d\lambda dx =$

$\displaystyle \frac{\omega^{2}}{AE} [ \rho A (\displaystyle \frac{l}{2} x^{2}-\displaystyle \frac{x^{3}}{6})+ mlx]_{0}^{3}$

$= 0.00082899m$

$= 0.829mm$

答えは、 $0.829mm$ です。式に値を代入して計算するところは自分で一度やってみてください。

※有効数字は3桁で表しています。

材料力学の遠心力の問題まとめ

材料力学問題,材料力学遠心力

ばっちり理解できたでしょうか？

これからも勉強頑張っていきましょう！

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おりびのブログ

「機械工or院卒→開発部」を目指す理系のためのブログ。