おりびのブログ

「機械工or院卒→開発部」を目指す理系のためのブログ。

機械工学科

材料力学の問題解説

研究室

買ってよかった物

材料力学のたわみ・たわみ角って？たわみの問題解説と公式について

材料力学の解説

この記事では、

◆材料力学のたわみの問題の解き方が分からない。

◆材料力学の試験が近くてヤバい。

◆材料力学の演習・解説が見たい。

というあなた向けの内容です。

ちなみに今回解説する問題は、教科書「改訂新版図解でわかるはじめての材料力学」の演習問題です。

　

材料力学のたわみとは

今日は材料力学のたわみの問題について解説していきます。

まずは、たわみに関する問題を解くために必要な知識を箇条書きでまとめます。

正直、↓さえしっかり覚えておけばほぼ解けます。

たわみに必要な知識 ◆たわみ $y$ とは、 $y$ 方向のこと変形量のこと。　
◆たわみ角 $i$ とは、たわんだ曲線の接線と $x$ 軸がなす角度のこと。
◆たわみの基礎式 $EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= -M(x)$ だけ覚える。

◆たわみの基礎式を1回積分したらたわみ角 $i$ が求まる。

◆たわみの基礎式を2回積分したらたわみ $y$ が求まる。

この５つの注意事項さえ頭に入れておけば問題ありません。 ↑の超重要事項をもう一度、図で理解しましょう↓

材料力学問題,材料力学たわみ

材料力学問題,材料力学たわみ

ここまで大丈夫でしょうか？

ここからは、具体的な問題を用いてたわみの理解を深めていきましょう！

材料力学のたわみの問題を解くための４ステップとは

たわみの不静定問題を解くための重要ステップを４つご紹介します。

重要ポイント ①曲げモーメント $M(x)$ を求める　
②1回積分してたわみ角 $i$ を求める
③2回積分してたわみ $y$ を求める

④境界条件を考えて積分定数を決定する

この４つの手順通り真似すれば必ず解くことができますよ！

では続いて例題を２問ご紹介します。

片持ち梁の集中荷重の場合のたわみの計算

材料力学問題,材料力学たわみ

まずは↑の片持ち梁に集中荷重がかかる場合のたわみの計算をステップ毎にしてみましょう。 (あとでもう一問します)

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ①：曲げモーメント $M(x)$ を求める

まずは曲げモーメント $M(x)$ を求めます。

もしも曲げモーメントの求め方分からないという方がいましたら、ぜひこちらから先に勉強してみてください！

曲げモーメントは、

$M(x) = -Px$

になりますね、分かったでしょうか？

※上側に反るようなたわみの場合の曲げモーメントは負になることに気を付けてください！

ここまでを整理すると、たわみの基礎式は以下のようになりますね。

$EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= -M(x) = Px$

続いてのステップではついに積分しますよ。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ②：1回積分してたわみ角 $i$ を求める

ステップ②では1回積分してたわみ角 $i$ を求めます。

$EI \displaystyle \frac{d y}{d x}= \int\ Px \ dx = \displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1}$

積分範囲はありません、いったん不定積分として解いてください。

積分定数 $c_{1}$ を付けるのを忘れないでください。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ③：もう1回積分してたわみ $y$ を求める

↑の式をもう一回積分してたわみ $y$ を求めましょう。

$EIy= \int\ (\displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1})\ dx$ $= \displaystyle \frac{P}{6}x^{3}+c_{1}x+c_{2}$

こちらも積分範囲はありません、いったん不定積分として解いてください。

積分定数 $c_1$ と $c_2$ を付けるのを忘れないでください。

続いて最終ステップです。境界条件を決めていきましょう。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ④：境界条件を考えて積分定数を決定する

境界条件を考える時に重要な内容を箇条書きでまとめます。必ず理解してください。

◆固定端( $x=l$ )でたわみ角がゼロ( $\displaystyle \frac{d y}{d x}=0)$

◆固定端( $x=l$ )でたわみがゼロ( $y=0$ )

この２つの境界条件が頭に入っていたら楽勝ですね。

固定端( $x=l$ )は全く下側にずれていないですもんね。

では、実際に境界条件を使って積分定数 $c_1$ と $c_2$ を決めていきましょう。

$\displaystyle \frac{P}{2}l^{2}+c_{1}=0$

$\displaystyle \frac{P}{6}l^{3}+c_{1}l+c_{2}=0$

この２つの式を連立させて解くと、積分定数 $c_1$ と $c_2$ が決定できますね。

計算結果 $c_{1}=-\displaystyle \frac{P}{2}l^{2}$ 、 $c_{2}=\displaystyle \frac{P}{3}l^{3}$

よって、積分定数 $c_1$ と $c_2$ を

$EIi = \displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1}$

$EIy= \displaystyle \frac{P}{6}x^{3}+c_{1}x+c_{2}$

に代入してたわみ角 $i$ とたわみ $y$ を求めていきましょう。

結局、次のような式になりますね。

たわみ角 $i$ $i =\displaystyle \frac{P}{2EI}(x^2-l^2)$

たわみ $y$ $y= \displaystyle \frac{P}{6EI}(x^3-3l^{2}x+2l^{3})$

ここまで理解できたでしょうか？

もし、最大たわみ角 $i$ と最大たわみ $y$ を求めろと言われたら、単純に↑の式に $x=0$ を代入すると求まりますね。

片持ち梁の集中荷重１問で終わると少々寂しいので、もう一問解説しようと思います。

次は、積分の仕方に注意する問題です。

片持ち梁のモーメント荷重の場合のたわみの計算

材料力学問題,材料力学たわみ

続いて、↑のようなモーメント荷重が作用する片持ち梁のたわみ角 $i$ とたわみ $y$ を求めていきましょう。

もう一度おさらいで、たわみの問題を解く時の注意点をまとめます。

重要ポイント ①曲げモーメント $M(x)$ を求める　
②1回積分してたわみ角 $i$ を求める
③2回積分してたわみ $y$ を求める

④境界条件を考えて積分定数を決定する

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ①：曲げモーメント $M(x)$ を求める

曲げモーメントは、

$M(x) = -M$

になりますね、分かったでしょうか？

※上側に反るようなたわみの場合の曲げモーメントは負になることに気を付けてください！

たわみの基礎式は以下のようになりますね。

$EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= M$

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ②：1回積分してたわみ角 $i$ を求める

1回積分してたわみ角 $i$ を求めていきましょう。

積分の仕方に工夫があるのでぜひ注意して見てください。

$EI \displaystyle \frac{d y}{d x}= \int\ M \ dx$ $= M(x-l)+c_{3}$

積分定数 $c_{3}$ を付けるのを忘れないでください。

$Mx$ ではなく、あえて $M(x-l)$ と置くところがポイントです。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ③：もう1回積分してたわみ $y$ を求める

↑の式をもう一回積分してたわみ $y$ を求めましょう。

$EIy= \int｛\displaystyle M(x-l)+c_{1}｝\ dx$ $= \displaystyle \frac{M}{2}(x-l)^{2}+c_{3}(x-l)+c_{4}$

あえて、 $(x-l)^{2}$ と $(x-l)$ と置くところがポイントです。

続いて最終ステップです。境界条件を決めていきましょう。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ④：境界条件を考えて積分定数を決定する

境界条件を考える時に重要な内容をまとめます。

◆固定端( $x=l$ )でたわみ角がゼロ( $\displaystyle \frac{d y}{d x}=0)$

◆固定端( $x=l$ )でたわみがゼロ( $y=0$ )

ということで、

$EIy= \int｛\displaystyle M(x-l)+c_{1}｝\ dx$ $= \displaystyle \frac{M}{2}(x-l)^{2}+c_{3}(x-l)+c_{4}$

に $x=l$ を代入しましょう。

さっき、工夫して積分したので積分定数 $c_3$ と $c_4$ が簡単に求まりましたね。

$x=l$ を代入することを想定して、事前に $(x-l)$ の項を作っておくことがポイントですね。

ちなみに積分定数を計算すると次のようになりますね。

計算結果 $c_{3}=0$ 、 $c_{4}=0$

したがってたわみ角 $i$ とたわみ $y$ は、、、

たわみ角 $i$ $i = \displaystyle \frac{1}{EI}M(x-l)$

たわみ $y$ $y=\displaystyle \frac{M}{2EI}(x-l)^{2}$

もし、最大たわみ角 $i$ と最大たわみ $y$ を求めろと言われたら、単純に↑の式に $x=0$ を代入してください。

材料力学のたわみの問題まとめ

今回は、材料力学のたわみの問題を解説しました。

積分を使うので一見難しく感じますが、高校レベルの基礎的な積分しか使わないので見掛け倒しですね。

積分定数を簡単に求める工夫が今回の肝です。

$x=l$ を代入することを想定して、事前に $(x-l)$ の項を作っておきましょう。

　　　

また材料力学を勉強する上でおすすめの参考書を2冊ご用意しました。

「マンガでわかる材料力学」は、kindleバージョンもあって個人的におすすめ。iPadとの相性も◎

マンガでわかる材料力学

末益博志, 長嶋利夫【著】オーム社出版マンガシリーズに材料力学が登場！変形や強度を考えてみよう！

こちらは材料力学のテスト勉強に最適です

演習材料力学 (セミナーライブラリー機械工学)

尾田十八, 三好俊郎【著】サイエンス社出版大学のテスト勉強に最適！

☆ iPadがある大学生活のメリット10選はこちらの記事よりどうぞ

iphoneとiPadの2台持ちが超便利な理由10選！【iPadを5年以上使っています】

　　　　

たわみ以外にもはりや不静定問題も解説しているのでぜひそちらもご覧ください。材力以外にも、理系男子に有益な情報を書いていますのでぜひ⇩

合わせて読みたい！

また、解説してほしい材料力学の問題がありましたらFollow @OribiStudyのDMでご連絡ください。ありがとうございました。

機械工のあなたにおすすめの記事

　

おりびのブログはリンクフリーです

当サイトは管理人の許可なくリンクを張って頂いて問題ございません。
内容をコピー、スクリーンショットや画像のご利用も、該当記事へ「出典」としてリンクを張っていただければ問題ございません。
おりびのブログのホーム画面に戻る