おりびのブログ

written by oribi

材料力学のたわみ・たわみ角って?たわみの問題を図解付きで解説!

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この記事では、

◆材料力学のたわみの問題の解き方が分からない。

◆材料力学の試験が近くてヤバい。

◆材料力学の演習・解説が見たい。

というあなた向けの内容です。

材料力学のたわみとは

今日は材料力学のたわみの問題について解説していきます。

まずは、たわみに関する問題を解くために必要な知識を箇条書きでまとめます。

正直、↓さえしっかり覚えておけばほぼ解けます。

たわみに必要な知識

◆たわみyとは、y方向のこと変形量のこと。  

◆たわみ角iとは、たわんだ曲線の接線とx軸がなす角度のこと。

◆たわみの基礎式 EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= -M(x) だけ覚える。

◆たわみの基礎式を1回積分したらたわみ角iが求まる。

◆たわみの基礎式を2回積分したらたわみyが求まる。

この5つの注意事項さえ頭に入れておけば問題ありません。 ↑の超重要事項をもう一度、図で理解しましょう↓

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ここまで大丈夫でしょうか?

ここからは、具体的な問題を用いてたわみの理解を深めていきましょう!

材料力学のたわみの問題を解くための4ステップとは

たわみの不静定問題を解くための重要ステップを4つご紹介します。

重要ポイント

①曲げモーメントM(x)を求める  

②1回積分してたわみ角iを求める

③2回積分してたわみyを求める

④境界条件を考えて積分定数を決定する

この4つの手順通り真似すれば必ず解くことができますよ!

では続いて例題を2問ご紹介します。

片持ち梁の集中荷重の場合のたわみの計算

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まずは↑の片持ち梁に集中荷重がかかる場合のたわみの計算をステップ毎にしてみましょう。 (あとでもう一問します)

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ①:曲げモーメントM(x)を求める

まずは曲げモーメントM(x)を求めます。

もしも曲げモーメントの求め方分からないという方がいましたら、ぜひこちらから先に勉強してみてください!

曲げモーメントは、

M(x) = -Px

になりますね、分かったでしょうか?

※上側に反るようなたわみの場合の曲げモーメントは負になることに気を付けてください!

ここまでを整理すると、たわみの基礎式は以下のようになりますね。

 EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= -M(x) = Px

続いてのステップではついに積分しますよ。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ②:1回積分してたわみ角iを求める

ステップ②では1回積分してたわみ角iを求めます。

 EI \displaystyle \frac{d y}{d x}= \int\  Px \ dx = \displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1}

積分範囲はありません、いったん不定積分として解いてください。

積分定数c_{1}を付けるのを忘れないでください。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ③:もう1回積分してたわみyを求める

↑の式をもう一回積分してたわみyを求めましょう。

 EIy= \int\   (\displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1})\ dx = \displaystyle \frac{P}{6}x^{3}+c_{1}x+c_{2}

こちらも積分範囲はありません、いったん不定積分として解いてください。

積分定数 c_1 c_2を付けるのを忘れないでください。

続いて最終ステップです。境界条件を決めていきましょう。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ④:境界条件を考えて積分定数を決定する

境界条件を考える時に重要な内容を箇条書きでまとめます。必ず理解してください。

◆固定端(x=l)でたわみ角がゼロ( \displaystyle \frac{d y}{d x}=0)

◆固定端(x=l)でたわみがゼロ(y=0)

この2つの境界条件が頭に入っていたら楽勝ですね。

固定端(x=l)は全く下側にずれていないですもんね。

では、実際に境界条件を使って積分定数 c_1 c_2を決めていきましょう。

\displaystyle \frac{P}{2}l^{2}+c_{1}=0
\displaystyle \frac{P}{6}l^{3}+c_{1}l+c_{2}=0

この2つの式を連立させて解くと、積分定数 c_1 c_2が決定できますね。

計算結果 c_{1}=-\displaystyle \frac{P}{2}l^{2}c_{2}=\displaystyle \frac{P}{3}l^{3}

よって、積分定数 c_1 c_2

 EIi = \displaystyle \frac{P}{2}x^{2}+c_{1}
 EIy= \displaystyle \frac{P}{6}x^{3}+c_{1}x+c_{2}

に代入してたわみ角iとたわみyを求めていきましょう。

結局、次のような式になりますね。

たわみ角i i =\displaystyle \frac{P}{2EI}(x^2-l^2)
たわみy y= \displaystyle \frac{P}{6EI}(x^3-3l^{2}x+2l^{3})

ここまで理解できたでしょうか?

もし、最大たわみ角iと最大たわみyを求めろと言われたら、単純に↑の式にx=0を代入すると求まりますね。

片持ち梁の集中荷重1問で終わると少々寂しいので、もう一問解説しようと思います。

次は、積分の仕方に注意する問題です。

片持ち梁のモーメント荷重の場合のたわみの計算

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続いて、↑のようなモーメント荷重が作用する片持ち梁のたわみ角iとたわみyを求めていきましょう。

もう一度おさらいで、たわみの問題を解く時の注意点をまとめます。

重要ポイント

①曲げモーメントM(x)を求める  

②1回積分してたわみ角iを求める

③2回積分してたわみyを求める

④境界条件を考えて積分定数を決定する

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ①:曲げモーメントM(x)を求める

曲げモーメントは、

M(x) = -M

になりますね、分かったでしょうか?

※上側に反るようなたわみの場合の曲げモーメントは負になることに気を付けてください!

たわみの基礎式は以下のようになりますね。

 EI \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= M

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ②:1回積分してたわみ角iを求める

1回積分してたわみ角iを求めていきましょう。

積分の仕方に工夫があるのでぜひ注意して見てください。

 EI \displaystyle \frac{d y}{d x}= \int\  M \ dx = M(x-l)+c_{3}

積分定数c_{3}を付けるのを忘れないでください。

Mxではなく、あえて M(x-l)と置くところがポイントです。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ③:もう1回積分してたわみyを求める

↑の式をもう一回積分してたわみyを求めましょう。

 EIy= \int{\displaystyle M(x-l)+c_{1}}\ dx = \displaystyle \frac{M}{2}(x-l)^{2}+c_{3}(x-l)+c_{4}

あえて、(x-l)^{2}(x-l)と置くところがポイントです。

続いて最終ステップです。境界条件を決めていきましょう。

材料力学のたわみの問題を解くためのステップ④:境界条件を考えて積分定数を決定する

境界条件を考える時に重要な内容をまとめます。

◆固定端(x=l)でたわみ角がゼロ( \displaystyle \frac{d y}{d x}=0)

◆固定端(x=l)でたわみがゼロ(y=0)

ということで、

 EIy= \int{\displaystyle M(x-l)+c_{1}}\ dx = \displaystyle \frac{M}{2}(x-l)^{2}+c_{3}(x-l)+c_{4}

x=lを代入しましょう。

さっき、工夫して積分したので積分定数 c_3 c_4が簡単に求まりましたね。

x=lを代入することを想定して、事前に(x-l)の項を作っておくことがポイントですね。

ちなみに積分定数を計算すると次のようになりますね。

計算結果 c_{3}=0c_{4}=0

したがってたわみ角iとたわみyは、、、

たわみ角i i =  \displaystyle \frac{1}{EI}M(x-l)
たわみy  y=\displaystyle \frac{M}{2EI}(x-l)^{2}

もし、最大たわみ角iと最大たわみyを求めろと言われたら、単純に↑の式にx=0を代入してください。

材料力学のたわみの問題まとめ

今回は、材料力学のたわみの問題を解説しました。

積分を使うので一見難しく感じますが、高校レベルの基礎的な積分しか使わないので見掛け倒しですね。

積分定数を簡単に求める工夫が今回の肝です。

x=lを代入することを想定して、事前に(x-l)の項を作っておきましょう

たわみ以外にもはりや不静定問題も解説しているのでぜひそちらもご覧ください。

また、解説してほしい材料力学の問題や質問がありましたらのDMでご連絡ください。ありがとうございました。